3. 統計検定3級 基本的な公式

3.1. 指数

3.1.1. 指数法則

指数に対して以下の法則が成り立つ。

3.2. 対数

3.2.1. 対数の定義

対数の定義は以下の通り。対数はほぼ使わないけど。

3.2.2. 対数法則

対数に対して以下の法則が成り立つ。

3.2.3. 対数法則の証明

$(1) \log_a{M} + \log_a{N} = \log_a{MN}$

$\log_a{M} = x, \space \log_a{N} = y$ と置くと、対数の定義より $a^x = M, a^y = N$ よって、
指数法則により $a^{x+y} = MN$ となる。
これは対数の定義より、 $\log_a{MN} = x + y$ であることを表す。

$(2) \space \log_a{M^p} = p\log_a{M}$

$\log_a{M} = x$ と置くと、対数の定義より $a^x = M$ よって、指数法則を使うと $a^{px} = M^p$ となる。
これは対数の定義より、 $\log_a{M^p} = px$ となる。

$(3) \space \log_a{\cfrac{1}{M}} = - \log_a{M}$

$(2)$ において、 $p = -1$ とすれば得られる。
$\log_a{M^{-1}} = \log_a{\cfrac{1}{M}} = {-1}\log_a{M}$

$(4) \space \log_a{M} - \log_a{N} = \log_a{\cfrac{M}{N}}$

$(1)$ において、 $N$ ではなく $\cfrac{1}{N}$ を指定すると、 $\log_a{M} + \underline{\log_a{\cfrac{1}{N}}} = \log_a{\left(M \cfrac{1}{N} \right)} = \log_a{\cfrac{M}{N}}$ となる。
下線部は $(3)$ より $-\log_a{N}$ になるため、 $\log_a{M} - \log_a{N} = \log_a{\cfrac{M}{N}}$ が成立する。

$(5) \space \log_a{1} = 0$

$a^0 = 1$ であることから、対数の定義より $\log_a{1} = 0$ を得る。

$(6) \space \log_a{b} = \cfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$

対数の定義より、 $a^p = b \Leftrightarrow \log_a{b} = p$ である。
このとき、左側の式の $p$ に $\log_a{b}$ を代入すると、 $a^{log_a{b}} = b$ が成立する。
ここで、両辺の対数をとる。対数の底は $c$ とする。すると、
\(\begin{align*} a^{\log_a{b}} &= b \\ \log_c{a^{\log_a{b}}} &= \log_c{b} \\ \log_a{b} \log_c{a} &= \log_c{b} \\ \log_a{b} &= \cfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{align*}\)

3.3. 平方完成

統計検定 3 級に登場した。出題されても 1 問程度なので捨ててよいかも。平方完成は $3x^2 -12x +6$ といった式の $x$ を $(x - n)^2$ の形にまとめる手法のこと。平方完成を使うと、$(x - n)^2 = X^2$ のように値を置き換えて考えることができるようになる。