Statistics study notes
TikZJax について
JavaScript で tikz を利用可能にするもの。すごい。参考：https://tikzjax.com/
以下のようにインクルードし、
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://tikzjax.com/v1/fonts.css">
<script src="https://tikzjax.com/v1/tikzjax.js"></script>
<script type="text/tikz"></script> タグの中に tikz を記述する。html {cmd=true hide=true} を指定しても、Markdown Preview Enhanced では実行してくれないようだ。
通常の TikzJax は % から始まるコメントが使えない。また、2バイト文字の表示は非対応。テキストは英語を使うこと。
Jekyll で TikzJax を利用する場合、以下のように記述すればよい。
<script type="text/tikz">
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (1in);
\end{tikzpicture}
</script>
指数と対数
対数はほぼ使わないけど。でも、たまに出てくるような…。
指数法則
指数に対して以下の法則が成り立つ。
\[%\newcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{align*} & a \neq 0, b \neq 0 とし、m, n を整数とする \\ & (1) \space a^m a^n=a^{m+n} && (2) \space \cfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\ & (3) \space (a^m)^n = a^{m n} && (4) \space (ab)^n = a^n b^n \\ & (5) \space a^0 = 1 && (6) \space a^{-1} = \cfrac{1}{a} \\ & (7) \space a^{-n} = \cfrac{1}{a^n} \end{align*}\]対数の定義
対数の定義は以下の通り。
\[\begin{align*} & a > 0, a \neq 1, M > 0 のとき \\ \\ & a^p = M \Leftrightarrow \log_a{M} = p \\ \\ & (1) \space \log_a{M} を a を底とする M の対数という。\\ & (2) \space M を \log_a{M} の真数という。 \end{align*}\]対数法則
対数に対して以下の法則が成り立つ。
\[%\newcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{align*} & (1) \space \log_a{M} + \log_a{N} = \log_a{MN} \\ & (2) \space \log_a{M^p} = p\log_a{M} \\ & (3) \space \log_a{\cfrac{1}{M}} = - \log_a{M} \\ & (4) \space \log_a{M} - \log_a{N} = \log_a{\cfrac{M}{N}} \\ & (5) \space \log_a{1} = 0 \\ & (6) \space \log_a{b} = \cfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \end{align*}\]計算方法
平方完成
統計検定 3 級に登場した。出題されても 1 問程度なので捨ててよいかも。平方完成は $3x^2 -12x +6$ といった式の $x$ を $(x - n)^2$ の形にまとめる手法のこと。平方完成を使うと、$(x - n)^2 = X^2$ のように値を置き換えて考えることができるようになる。
\[%\newcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{align*} &3x^2 - 12x + 6 \\ & = 3 (x^2 - 4x) + 6 & \dots & \text{ $x^2$ の係数を外に出す } \\ & = 3 (x^2 -2 \cdot 2x + 2^2 - 2^2) + 6 & \dots & \text{ $-4x$ の係数を $\cfrac{1}{2}$ にし、かつ $\cfrac{1}{2}$ にした値の2乗を足し引きする}\\ & = 3 \{(x - 2)^2 - 4\} + 6 & \dots & \text{ $x^2 -2 \cdot 2x + 2^2$ を因数分解する }\\ & = 3 (x - 2)^2 - 12 + 6 & \dots & \text{ $3$ を展開する } \\ & = 3 (x - 2)^2 - 6 & \dots & \text{ 数値を計算しておしまい } \end{align*}\]基礎の基礎
平均値
\[%\newcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{align*} \bar{x} = \cfrac{\text{観測値の合計}}{\text{観測値の個数}} = \cfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} \end{align*}\]中央値
n 個の観測値 $x_1, x_2, \cdots , x_n$ を昇順（小さい順）に並べたものを
\[%\newcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{align*} &{x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)}} \\ \end{align*}\]とするとき、
\[%$\newcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{align*} &\text{n が奇数の場合}: x_{\frac{(n+1)}{2}}\\ &\text{n が偶数の場合}: \cfrac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}\\ \end{align*}\]最頻値
最も頻繁に出現する値のこと。